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Thema: Problem beim Beweisen
Olaf (offline)
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Beiträge: 6
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Deutschland
icon1   Problem beim Beweisen #1 Datum: 20.09.2006, 20:39  


Hallo, ich bin neu hier und hoffe auf eure Hilfe
In der Schule habe ich eine Aufgabe bekommen, wobei ich Probleme habe.

Es geht um Folgendes:

Zeigen Sie, dass es nur endlich viele Primzahlen p gibt, für welche Dezimaldarstellung von 1/p periodisch mit einer Periodenlänge 5 ist.

Ich habe schon raus, dass die Primzahlen 41 (1/41=0,02439024...) und 271 (1/271=0,0036900369..) dem entsprechen, wobei ich mir bei 271 nicht zu 100% sicher bin.

Könnt ihr mir dabei helfen, das zu beweisen? bzw. noch weitere zu finden?

Das wäre sehr nett
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rifischer (offline)
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Beiträge: 36
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Schweiz
icon1   Re: Problem beim Beweisen #2 Datum: 21.09.2006, 20:34  


Hallo Olaf

Zahlen mit einer bestimmten Periodenlänge n erzeugt man im Dezimalsystem nach folgender Formel:
(beliebige Ganzzahl)/(10^n-1)

Mit der jetztigen Jahreszahl und der Periodenlänge n = 5 ergibt sich:
2006/(10^5-1) = 2006/99999 = 0.020060200602006...

Der Nenner 99999 = 3^2 * 41 *271 ergibt also die Periodenlänge 5.
Die Primfaktoren müssen nun noch überprüft werden, ob die Periodenlänge nur ein Bruchteil davon ist.
Der Primfaktor 3 hat die Periodenlänge 1 und damit nur einen 1/5.
Die beiden anderen Primfaktoren 41 und 271 haben die Periodenlänge 5. Alle anderen Primzahlen liefern eine andere Periodenlänge, weil sie nicht Teiler der Zahl (10^5-1) sind.

Die Tabelle der Primzahlen mit den Periodenlängen bis 32 lautet.
n-Periode Primzahlen
1* 3
2* 11
3* 37
4* 101
5* 41 271
6* 7 13
7* 239 4649
8* 73 137
9* 333667
10* 9091
11* 21649 513239
12* 9901
13* 53 79 265371653
14* 909091
15* 31 2906161
16* 17 5882353
17* 2071723 5363222357
18* 19 52579
19* 1111111111111111111
20* 3541 27961
21* 43 1933 10838689
22* 23 4093 8779
23* 11111111111111111111111
24* 99990001
25* 21401 25601 182521213001
26* 859 1058313049
27* 757 440334654777631
28* 29 281 121499449
29* 3191 16763 43037 62003 77843839397
30* 211 241 2161
31* 2791 6943319 57336415063790604359
32* 353 449 641 1409 69857
Bis zur Periodenlänge von 238 sind heute alle Primzahlen für die entsprechende Periodenbildung bekannt.
Siehe dazu unter:
http://www.h4.dion.ne.jp/~rep/Repunit100.txt

Gruss rifischer

(Bisher wurde dieser Beitrag 1 mal editiert, als letztes von rifischer am 21.09.2006 @ 20:37)
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Olaf (offline)
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Deutschland
icon1   Re: Problem beim Beweisen #3 Datum: 21.09.2006, 21:49  


schonmal ein großes Danke!!!

ich werde jetzt nur noch gucken, wie ich das ordentlich formuliereund für dsa thema passend einbaue.

kannst du mir eine verständlnisvolle formulierte erklärung für Klassenstufe 9 geben??
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Olaf (offline)
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Deutschland
icon1   Re: Problem beim Beweisen #4 Datum: 23.09.2006, 22:47  


:help:

Noch komme ich damit nicht zurecht.

Ich muss wissen, ob das irgendwie bewiesen ist oder so.

Ausserdem habe ich noch eine Verständnisfrage:

Hängt es von der primzahl ab, egal was der Zähler bei n/p welche Periodenlänge entsteht? das heißt, hat z.B. die primzahl 25601 im Gebilde n/p wobei n beliebig wechseln kann die gleiche Periodenlänge (immer Periodenlänge 25)???

Dann müsste ich wissen, wo das bewiesen wird. und wie ich den Beweis erklären kann in einer Foprmulierung, die der 9. Klasse angepasst ist.


------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ -----

Noch ein Problem. Wisst ihr, wo es bewiesen ist das a²*b²=c² ist??

Pythagoras erklärt ja das a²+b²=c²
aberich brauche den beiweis der Multiplikation. von zwei Quadraten.


------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ -----
Und nochwas:

Gibt es eine Formel für die Anzahl der Muster, die man bilden kann bei 2*5Rechtecken, wobei immer 6 belegt sind und 4 leer sind??

Das wäre nett
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Triton (offline)
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Deutschland
 
icon1   Re: Problem beim Beweisen #5 Datum: 24.09.2006, 03:16  

zitat:
das heißt, hat z.B. die primzahl 25601 im Gebilde n/p wobei n beliebig wechseln kann die gleiche Periodenlänge
Ja. Du kannst einen einfachen Beweis führen, indem du für n 1-9 einsetzt und vergleichst. Bei 10/p würde dann ja nur
das Komma versetzt und ist ansonsten identisch mit 1/p.
zitat:
Wisst ihr, wo es bewiesen ist das a²*b²=c² ist??
Naja, ohne weitere Details ist das immer eine wahre Aussage, die nicht sinnvoll bewiesen werden kann.
zitat:
Gibt es eine Formel für die Anzahl der Muster..
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das eine Variation (Kombinatorik).
Die Anordnung von 10 Elementen (10 Rechtecke), wobei 6 davon beliegig angeordnet
werden können, berechnet man meiner Meinung nach mit

n!/(n-k)! = 10!/(10-6)! = 151200

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Olaf (offline)
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icon1   Re: Problem beim Beweisen #6 Datum: 24.09.2006, 12:05  


naja kannst du den letzten Punkt mal anders Formulieren??
Ich bin in der neunten Klasse und versteh das noch nicht alles.

was soll zum beispiel das ! sein und wie rechnet man das?
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Triton (offline)
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icon1   Re: Problem beim Beweisen #7 Datum: 24.09.2006, 15:07  


-> http://de.wikipedia.org/wiki/Fakultä...#095;(Mathematik)

5! = 1*2*3*4*5

Ich bin mir aber nicht sicher, ob meine oben genannte Lösung richtig war. Ich glaube eher, dass man rechnen müsste:

n!/(k!(n-k)!) = 10!/(6!(10-6)!) = 210

Das ist der Binominalkoeffizient. Damit kann man u.A die Möglichkeiten an Anordnungen von k Elementen (6 gefüllte rechtecke) aus einer Gesamtmenge von n Elementen (10 rechtecke) ermitteln.

Aber nun ja, wenn du sagst, du wärst in der 9. Klasse - wozu brauchst du das dann?

Soweit ich weiß, ist das alles zu diesem Zeitpunkt noch kein Schulstoff.
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Olaf (offline)
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icon1   Re: Problem beim Beweisen #8 Datum: 24.09.2006, 19:47  


ganz einfach
ich mache bei der Matheolympiade mit. Da die Aufgaben jedoch für die neunte und zehnte Klasse sind, muss ich mich ein bisschen anders informieren. So bin ich auf dieses Forum gekommen.

Und es hat mich enorm weitergebracht!!!!

Bist du dir jetzt sicher, dass die Formel richtig ist??

Bei dem Bewieis a²*b²=c² bin ich mir ziemlich sicher, denn man kann es umformen.

a²*b²=(a*b)(a*b)=(a*b)²=c²

denn a*b=c


Mit den Primzahlen da weiß ich noch nicht ganz, wie ich das mach.

klar jede primzahl hat eine gewisse Periodenlänge in n/p. Aber dann muss ich ja alle beispiele von Primzahlen angeben, jedenfalls bis zu einer größeren.

Das ist auch blöd.
Ich muss also noch einen Beweis dafür finden, dass wirklich nur 41 271 den Kriterien entsprechen, und muss gleichzeitig das internet umgehen.(glaub ich wenigstens)

(Bisher wurde dieser Beitrag 1 mal editiert, als letztes von Olaf am 24.09.2006 @ 19:57)
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Triton (offline)
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icon1   Re: Problem beim Beweisen #9 Datum: 28.09.2006, 15:50  

zitat:
Bei dem Bewieis a²*b²=c² bin ich mir ziemlich sicher, denn man kann es umformen.

a²*b²=(a*b)(a*b)=(a*b)²=c²

denn a*b=c

Naja, es ist halt einfach eine Gleichung. Die kann man immer in irgendwas umformen.

So gesehen ist auch a²=c² "wahr".

Man muss sowas ja auf irgendwas anwenden - so wie etwa den Satz des Pythagoras auf Dreiecke.

--
Und dein Bruchproblem habe ich wohl noch nicht ganz verstanden.
Wenn man von der Aufgabenstellung in deinem ersten Post ausgeht, würde ich einen Beweis so angehen:
Ein Bruch mit der Periodenlänge 5 hat die form n/abcdeabcde...
Nun kann jede Ziffer a,b,c,d,e nur die Zahlen 0-9 annehmen. Es kann also maximal 10^5 Nenner geben, die eine Periodenlänge von 5 haben.
Damit ist schon bewiesen, dass es nur endlich viele gibt.

q.e.d



Und was ist das für eine Matheolympiade, bei der man zu Hause recherieren kann?
Zu meiner Zeit musste man noch vorort erscheinen und sich direkt an
den Aufgaben beweisen. :)

(Bisher wurde dieser Beitrag 2 mal editiert, als letztes von Triton am 28.09.2006 @ 16:09)
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Olaf (offline)
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icon1   Re: Problem beim Beweisen #10 Datum: 28.09.2006, 16:17  


so also erstmal danke wegen den Antworten, ich werde es schon hinkriegen.
Zur Matheolympiade. die erste runde ist für zuhause. Da die Aufgaben für die 9. und 10. Klasse sind. und ich in der neunten bin, darf ich mir zusatzmaterial besorgen, was eventuell in der zehnten Klasse gemacht wird.
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