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Thema: x^x
Triton (offline)
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icon1   x^x #1 Datum: 27.08.2006, 20:28  


Hallo,

Ja, also kurz gesagt, ich brauche sowohl Ableitung als auch Integral
von x^x.

Mit meinem Abiturmathe habe ich es versucht, bin aber kläglich gescheitert.

Die Ableitung von a^x ist ja a^x * ln(a).
Leider kann man das nicht auf x^x übertragen. x^x * ln(x) ist also falsch.

Tja, und beim Integral ähnlich. a^x -> 1/ln(a) * a^x + c
kann man nicht auf x^x übertragen.


Vorschläge? :)


Grüße, Triton
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rifischer (offline)
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icon1   Re: x^x #2 Datum: 28.08.2006, 20:53  


Hallo Triton

Die Ableitung von x^x kann man bilden indem man logarithmiert, ableitet und mit x^x multipliziert.
ln(x^x) = x*ln(x)
[x*ln(x)]' = 1+ln(x)
Somit lautet die Ableitung: [x^x]' = (x^x)*(1+ln(x))

Bei der Integration ist mir keine geschlossene Lösung bekannt, sondern nur Reihenentwicklungen.
Angenommen x sei eher gross, so kann man in 1. Näherung sinngemäss mit dem Gegenteil als Korrekturglied schreiben:
Integral(x^x)*dx = (x^x)/(1+ln(x)) + o(x) + c
Man leite die Näherung wieder ab:
[x^x/(1+ln(x))]' = (x^x)*[1-1/x/(1+ln(x))^2]
Wenn man das 1. Kurrekturglied wieder näherungsweise integriert, dann wieder ableitet, usw., habe ich folgender Reihenentwicklungsbeginn erhalten:

Integral(x^x)*dx = (x^x)*z*(1 + z^2/x + (z^3+3*z^4)/x^2 + (2*z^4+10*z^5+15*z^6)/x^3 + ...) + c
wobei: z = 1/(1+ln(x))
Leider hat aber diese Reihe keine Konvergenz und kann daher nur als Näherung gebraucht werden. Eine zu lange Reihe ist ungünstig für kleinere x.
Bedingung: x > ca. 3
Soweit mir bekannt, sind auch andere Reihenentwicklungen nur sehr begrenzt brauchbar.

Gruss rifischer

(Bisher wurde dieser Beitrag 5 mal editiert, als letztes von rifischer am 28.08.2006 @ 22:04)
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rifischer (offline)
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icon1   Re: x^x #3 Datum: 03.09.2006, 21:06  


Hallo Triton

Im November 2004 habe ich ein vollständiges arithmetisches Integrationsprogramm in Quick-Basic der Funktion x^x geschrieben. Es ist auf volle Rechengenauigkeit (15 Stellen, daher die Binärzerlegung z. B. 0.0625) ausgelegt.

10 DEFINT A-N: DEFDBL P-Z
20 DIM S(238), Zo(239): A = 238
30 PRINT "Integration von x^x von 0 bis z"
40 INPUT "z ="; Z
50 IF Z <= 0 THEN PRINT "z muss positiv sein!": GOTO 40
60 Zo(0) = Z: B = INT(LOG(Z) / LOG(2#) - .000001): R = .125
70 IF B < -3 THEN FOR J = 4 TO -B: R = R / 2: NEXT J
80 IF B > -3 THEN R = INT(Z * 16 - .000001) / 16
90 IF Z > 1.5 * R THEN B = 2: Zo(1) = 1.5 * R ELSE B = 1
100 FOR J = B TO A + 1: Zo(J) = R
110 IF R < .125 THEN R = R / 2 ELSE R = R - .0625
120 NEXT J
130 FOR J = 0 TO A: S1 = Zo(J) ^ Zo(J) - .75 + Zo(J + 1) ^ Zo(J + 1) - .75
140 R4 = (Zo(J) + Zo(J + 1)) / 2: S2 = R4 ^ R4 - .75
150 R2 = (Zo(J) + R4) / 2: R6 = (Zo(J + 1) + R4) / 2
160 S3 = R2 ^ R2 - .75 + R6 ^ R6 -.75
170 R1 = (Zo(J) + R2) / 2: R3 = (R2 + R4) / 2
180 R5 = (R4 + R6) / 2: R7 = (Zo(J + 1) + R6) / 2
190 S4 = (R1 ^ R1 - .75 + R3 ^ R3 - .75) + (R5 ^ R5 - .75 + R7 ^ R7 - .75)
200 R0 = (Zo(J) + R1) / 2: R1 = (R1 + R2) / 2
210 R2 = (R2 + R3) / 2: R3 = (R3 + R4) / 2
220 R4 = (R4 + R5) / 2: R5 = (R5 + R6) / 2
230 R6 = (R6 + R7) / 2: R7 = (Zo(J + 1) + R7) / 2
240 S5 = (R0 ^ R0 - .75 + R1 ^ R1 - .75) + (R2 ^ R2 - .75 + R3 ^ R3 - .75)
250 S5 = (R4 ^ R4 - .75 + R5 ^ R5 - .75) + (R6 ^ R6 - .75 + R7 ^ R7 - .75) + S5
260 R0 = (Zo(J + 1) + R7) / 2: R = (Zo(J) - Zo(J + 1)) / 16
270 R1 = R0 + R: R2 = R * 2 + R0: R3 = R * 3 + R0
280 R4 = R * 4 + R0: R5 = R * 5 + R0
290 R6 = R * 6 + R0: R7 = R * 7 + R0
300 S6 = (R0 ^ R0 - .75 + R1 ^ R1 - .75) + (R2 ^ R2 - .75 + R3 ^ R3 - .75)
310 S6 = (R4 ^ R4 - .75 + R5 ^ R5 - .75) + (R6 ^ R6 - .75 + R7 ^ R7 - .75) + S6
320 R0 = R * 8 + R0: R1 = R0 + R
330 R2 = R * 2 + R0: R3 = R * 3 + R0
340 R4 = R * 4 + R0: R5 = R * 5 + R0
350 R6 = R * 6 + R0: R7 = R * 7 + R0
360 R = (R0 ^ R0 - .75 + R1 ^ R1 - .75) + (R2 ^ R2 - .75 + R3 ^ R3 - .75)
370 S6 = (R4 ^ R4 - .75 + R5 ^ R5 - .75) + (R6 ^ R6 - .75 + R7 ^ R7 - .75) + R + S6
380 S0 = S1 / 2: S1 = S0 + S2: S2 = S1 + S3
390 S3 = S2 + S4: S4 = S3 + S5: S5 = S4 + S6
400 S0 = S1 * 2 - S0: S1 = S2 * 2 - S1: S2 = S3 * 2 - S2
410 S3 = S4 * 2 - S3: S4 = S5 * 2 - S4
420 S0 = S1 * 8 - S0: S1 = S2 * 8 - S1
430 S2 = S3 * 8 - S2: S3 = S4 * 8 - S3
440 S0 = S1 * 32 - S0: S1 = S2 * 32 - S1: S2 = S3 * 32 - S2
450 S0 = S1 * 128 - S0: S1 = S2 * 128 - S1
460 S0 = S1 * 512 - S0
470 S(J) = (Zo(J) - Zo(J + 1)) * S0 / (722925# * 1023#)
480 NEXT J: S1 = S(A) + S(A - 1)
490 FOR J = A - 2 TO 2 STEP -3
500 S1 = S(J) + S(J - 1) + S(J - 2) + S1: NEXT J
510 PRINT "Resultat:"; S1 + Z * .75; : GOTO 40
520 END

Die Programmzeilen können bis auf die Zeilenadresse 40 weggelassen werden.

Gruss rifischer

(Bisher wurde dieser Beitrag 1 mal editiert, als letztes von rifischer am 03.09.2006 @ 21:08)
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icon1   Re: x^x #4 Datum: 04.09.2006, 20:00  


Hui, danke dafür - auch für die Ableitung und das Integral.

Hatte schon geahnt, dass es zumindest bei letzterem keine "einfache" Lösung gibt.
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rifischer (offline)
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icon1   Re: x^x #5 Datum: 07.09.2006, 00:23  


Hallo Triton

Das Integral(x^x*dx) von Null bis Eins hat man übrigens sehr genau berechnet. Dieser Wert lässt sich auch als einfache (negative) Summe darstellen.

Die ersten 105 Stellen sind zu finden unter:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A083648

Die Summe(n^n) von -unendlich bis -1 ist gleich -0.78343051...

Über das Integral[e^(x*ln(x))*dx] lässt sich x^x doch noch über eine konvertierende (Doppel-)Reihe darstellen. Dies ist insbesondere für kleinere x-Werte günstig.
e^z = 1+z+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+...
z=x*ln(x)
Integral(x^x*dx) = x + Integral[x*ln(x)*dx] + Integral[(x*ln(x))^2*dx]/2 + Integral[(x*ln(x))^3*dx]/6 + Integral[(x*ln(x))^4*dx]/24 + ...

Gruss rifischer
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icon1   Re: x^x #6 Datum: 16.09.2006, 00:47  


Ich habe mal aus Spaß ermittelt, wann x^x +- n (wobei n maximal 2 werden sollte) eine Primzahl wird. Zwar habe ich noch keine ordentliche
Spezialvariante gefunden, wie man es schnell rausbekommt (oder bei welchem x es wahrscheinlicher eine Pz liefert), aber es ging mir auch nur um die Tatsache, dass x^x eben schnell große Zahlen und somit auch schnell große Primzahlen liefern könnte :)

code:
1^1 + 1 = 2
2^2 - 1 = 3
2^2 + 1 = 5
3^3 + 2 = 29
4^4 + 1 = 257
7^7 - 2 = 823541
19^19 - 2 = 1'978'419'655'660'313'589'123'977                        (1,9 * 10^24)
20^20 + 1 = 104'857'600'000'000'000'000'000'001                        (      10^26)
21^21 - 2 = 5'842'587'018'385'982'521'381'124'419                (5,8 * 10^27)
25^25 - 2 = 88'817'841'970'012'523'233'890'533'447'265'623        (8,8 * 10^34)



Bis 4949 -+ 2 habe ich alle durchgetestet.

(Bisher wurde dieser Beitrag 2 mal editiert, als letztes von Triton am 16.09.2006 @ 00:52)
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icon1   Re: x^x #7 Datum: 01.10.2006, 21:30  


Hallo Triton

Deine angegebenen Zahlen x^x±1 und x^x±2 habe ich durchgetestet.

20^20+1 = 148721*160001*4406613081041681 (keine Primzahl)

Im Internet gefunden:
x^x-2 ist prim für x = 2, 7, 19, 21, 25, 49, 51, 1071, ...
x^x+2 ist prim für x = 1, 3, 737, 1349, ...
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A100408
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A100407

Weitere mir bekannte Primzahlen im Zusammenhang mit x^x sind:
(x^x-1)/(x-1) ist prim für x = 2, 3, 19, 31, 7547, ...
(x^x+1)/(x+1) ist prim für x = 3, 5, 17, 157, ...
Weitere Primzahlen:
(4^4-1)/(4^2-1) = 17
(9^9+1)/(9^3+1) = 530713
(36^36+1)/(36^12+1) = 22452257707354557235348829785471057921 (38-stellig)

Gruss rifischer

(Bisher wurde dieser Beitrag 3 mal editiert, als letztes von rifischer am 02.10.2006 @ 00:07)
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icon1   Re: x^x #8 Datum: 03.10.2006, 21:12  


Danke für die Korrektur von 20^20 + 1

Habe mit einem eigenen Programm zuerst probedivisionen bis zu einer bestimmten Grenze durchgeführt und dann nochmal mit
dem QF-Algorithmus von Shanks auf der (ansonsten genialen) Seite
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/s...s/primzahlen.htm (ganz unten)
die Vermutung überprüft.

Für 104857600000000000000000001 scheint aber dieser QF-Algo falsch zu liegen (die dortigen anderen 3 jedoch nicht).

Und
x^x-2 ist prim für x = 1071, ...
x^x+2 ist prim für x = 737, 1349, ...
sind ja, wie dort auch beschrieben, keine sicherern Aussagen. Somit ist die sichere Liste wohl nur

1^1 + 1
2^2 - 1
2^2 + 1
3^3 + 2
4^4 + 1
7^7 - 2
19^19 - 2
21^21 - 2
25^25 - 2
49^49 - 2
51^51 - 2

(Bisher wurde dieser Beitrag 1 mal editiert, als letztes von Triton am 03.10.2006 @ 21:15)
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rifischer (offline)
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icon1   Re: Re: x^x #9 Datum: 04.10.2006, 21:30  

zitat:(Triton,03.10.2006, 21:12)

x^x-2 ist prim für x = 1071, ...
x^x+2 ist prim für x = 737, 1349, ...
sind ja, wie dort auch beschrieben, keine sicherern Aussagen. Somit ist die sichere Liste wohl nur

1^1 + 1
2^2 - 1
2^2 + 1
3^3 + 2
4^4 + 1
7^7 - 2
19^19 - 2
21^21 - 2
25^25 - 2
49^49 - 2
51^51 - 2

Hallo Triton

Was ist eine sichere Aussage? Ganz streng genommen gibt es die doch überhaupt nicht. Bei den sogenannten PRP-Primzahlen mit erweiterten Tests, handelt es sich nur um eine äusserst geringe mathematische Unsicherheit, bezüglich einer Pseudoprimzahl. Siehe dazu unter:
http://primes.utm.edu/notes/prp_prob.html
Die Unsicherheiten bezüglich Fehler (auch Beweis-Irrtum) in irgendeiner Form sind allemal wesentlich grösser. Wie schnell ist Dir der Irrtum wegen eines Programmfehlers bezüglich 20^20+1 passiert!

Nach dem Text in http://www.research.att.com/~njas/sequences/A100407 ist die Zahl 737^737+2 auch mathematisch als Primzahl nachgewiesen. Zu Deiner mathematisch sicheren Primzahlenliste käme also noch folgendes hinzu:
1^1 + 1 = 2^2 - 2
2^2 - 1 = 1^1 + 2
737^737+2

Gruss rifischer
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