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Thema: Unklarheit bei 6n²+5n-4-Auflösung
alphatier (offline)
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icon1   Unklarheit bei 6n²+5n-4-Auflösung #1 Datum: 30.09.2006, 14:16  


Hallo,

ich habe vorhin im Gästebuch den Beitrag von rifischer gesehen, in dem er folgendes geschrieben hat:
zitat:
Um die Funktion 6n²+5n-4 zu zerlegen, ist diese als quadratische Gleichung 6n²+5n-4=0 bzw. an²+bn-c=0 zu lösen.
n1,2 = [-b±Wurzel(b²-4ac)]/2/a = [-5±Wurzel(5²-4*6*(-4))]/2/a = (-5±11)/12
somit: n1=1/2 und n2=-4/3
Diese beiden Lösungen sind einzusetzen in die Gleichung: 6n²+5n-4 = 6*(n-n1)*(n-n2) = 6*(n-1/2)*(n+4/3)
Mit ganzen Zahlen ergibt sich nun: (2n-1)*(3n+4)

Was ich nun nicht verstehe ist: Warum kann man die Gleichung 6n²+5n-4 gleich Null setzen, da sie ja eigentlich lautet: 6n²+5n-4 = Primzahl ?

Und wie bist du auf 6*(n-n1)*(n-n2) gekommen? (Gibt es da ein Gesetz, was den Zusammenhang zwischen (x-n1)(x-n2) und x²+px+q angibt?)

Ich wäre für eine Erklärung sehr dankbar :-)


Grüße,
alphatier

(Bisher wurde dieser Beitrag 2 mal editiert, als letztes von alphatier am 30.09.2006 @ 14:50)
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rifischer (offline)
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icon1   Re: Unklarheit bei 6n²+5n-4-Auflösung #2 Datum: 01.10.2006, 10:54  


Hallo alphatier
Zur 1. Frage:
Die Bedingung einer Primzahl ist ja, dass man sie nicht in mindenstens 2 Primfaktoren zerlegen kann. Wenn ich nun eine Gleichung "an²+bn+c = Primzahl" habe, so darf man, um viele Primzahlen finden zu können, das Glied "an²+bn+c" nicht ganzzahlig zerlegen können. Eine ganzzahlige Zerlegung steht ja im Widerspruch zur Primzahl, ausgenommen es käme ein Zerlegungsfaktor 1 bzw. -1 heraus!

Zur 2. Frage:
Das Zwischenglied 6*(n-n1)*(n-n2) sollte eigentlich a*(n-n1)*(n-n2) heissen, wobei a=6 aus der Gleichung 6n²+5n-4 = an²+bn+c kommt.
Der Zusammenhang x²+px+q = (6n²+5n-4)/6 ist einfach herzustellen. Da ich mit a=6 gekürzt habe, muss ich in der Zerlegungsgleichung auch wieder mit a=6 erweitern.
Im Gästebuch ist es mir leider nicht möglich einen Eintrag nachträglich zu korrigieren, da ich das Passwort vom Webmaster nicht kenne.
Die Zerlegungslösung ist ja einfach zu kontrolieren, ob sie korrekt ist:
(2n-1)*(3n+4) = 6n²+5n-4
Sobald also beide Klammerausdrücke mit einem bestimmten n verschieden von 1 bzw. -1 sind, lässt sich die aus "6n²+5n-4" entstehende Zahl faktorisieren, was eindeutig im Widerspruch zu einer Primzahl steht.
Gruss rifischer

(Bisher wurde dieser Beitrag 2 mal editiert, als letztes von rifischer am 01.10.2006 @ 11:31)
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alphatier (offline)
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icon1   Re: Unklarheit bei 6n²+5n-4-Auflösung #3 Datum: 01.10.2006, 11:08  


Danke für deine Antwort, rifischer! :-)

Guuut, soweit hab ich das erstmal verstanden. Ich bezweifle auch nicht die Richtigkeit der Lösung, aber ich versteh immernoch nicht wie du darauf "gekommen" bist, dass an²+bn+c gleich a(n-n1)(n-n2) ist :-/

Schöne Grüße und danke für deine Hilfe :-)
alphatier
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rifischer (offline)
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icon1   Re: Unklarheit bei 6n²+5n-4-Auflösung #4 Datum: 01.10.2006, 11:40  


Hallo alphatier

Aus meiner Studentenzeit, das ist leider schon lange her, kenne ich die mathematische Regel, dass man Polynome wie folgt zerlegen kann, z. B.:
ax³+bx²+cx+d = a*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)
wobei x1, x2 und x3 die 3 Lösungen eines Polynoms 3. Grades sind.

Gruss rifischer

(Bisher wurde dieser Beitrag 1 mal editiert, als letztes von rifischer am 01.10.2006 @ 11:44)
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alphatier (offline)
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icon1   Re: Unklarheit bei 6n²+5n-4-Auflösung #5 Datum: 01.10.2006, 11:47  


Danke rifischer, ich werde mich danach mal umschaun ;-) Hoffentlich finde ich das irgendwo :-)
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alphatier (offline)
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icon1   Re: Unklarheit bei 6n²+5n-4-Auflösung #6 Datum: 01.10.2006, 12:00  


Für alle, die sich auch hierfür interessieren:
Ich habe diese Zerlegungsregel bei Wikipedia finden können unter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz�...5;von_Vieta
bzw. http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzels...5;von_Vietá

Schöne Grüße und nochmals vielen Dank an rifischer
alphatier
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