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Thema: Suche kürzesten Weg um eine sog. Fast-Primzahl von einer reinen Primzahl zu unterscheiden
Micha (offline)
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Beiträge: 3
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Mitglied seit: 16.05.2010

Deutschland
icon1   Suche kürzesten Weg um eine sog. Fast-Primzahl von einer reinen Primzahl zu unterscheiden #1 Datum: 18.05.2010, 13:51  


Liebe Forumteilnehmer,

als Amateur in der Zahlentheorie bitte ich um etwas Nachsicht für meine oftmals sicher unfachmännischen Formulierungen.

Um das Problem, um das es hier geht deutlich zu machen, komme ich nicht umhin etwas ausholen zu müssen:

In dem mir selbt zurechtgebastelten Zahlensystem unterscheide ich, Primzahlen als Definitionsgrundlage benutzend, drei Kategorien von ungeraden Zahle und drei Kategorien von geraden Zahlen.

Bei den ungeraden Zahlen sind dies:
1. reine Primzahlen (UK1 = Ungerade der Kategorie 1)
2. ungerade Zahlen, die nur durch Primzahlen teilbar sind (UK2), z.B. 9,
15,21,35 usw.
3. ungerade Zahlen (UK3) die sowohl durch Primzahlen als auch durch
UK2-Zahlen teilbar sind, z.B. 27, 45, 63, 81 (27 ist durch PZ 3
und UK2-Zahl 9 teilbar).

Bei den geraden Zahlen sind dies (GK1, GK2,GK3):
1. Gerade Zahlen, die durch fortlaufende Addition mit dem eigenen Wert
- beginnend mit der Zahl 2 - entstehen, und nach der Gesetzmäßigkeit
des sich stets verdoppelten Wertes auftreten (2, 4, 8, 16, 32, 64 usf.)

Diese Zahlen können nur durch andere, kleinere gerade Zahlen aus ihrer
Linie geteilt werden. Ihre Besonderheit besteht darin, dass sie nicht
durch Multiplikation einer geraden Zahl mit einer ungeraden Zahl
erzeugbar sind, was bei allen anderen geraden Zahlen möglich ist.

2. Gerade Zahlen, die aus der Gruppe der ungeraden Zahlen nur durch die
Primzahl der jeweiligen Linie in der sie auftreten teilbar sind (s. dazu die
noch folgende Tabelle).
Aus der Gruppe der geraden Zahlen sind sie durch andere GK-2-Zahlen
aus ihrer Linie sowie durch GK1-Zahlen teilbar. Solche Zahlen sind z.B. 6,
12, 24, 48 (nur durch PZ 3 teilbar); 10, 20, 40, 80 (nur durch PZ 5
teilbar; 14, 28 42 (nur durch PZ 7 teilbar) usf.

3. Gerade Zahlen, die durch ungerade Zahlen aus zwei Kategorien ((UK1 +
UK2) teilbar sind. Teilweise auch durch UK3-Zahlen(erst ab der Zahl 54,
denn für 18 u. 36 gibt es noch keinen UK3-Teiler, da 27 die erste
auftretende UK3-Zahl ist). Ferner sind sie durch alle drei Kategorien von
geraden Zahlen teilbar.
Es sind hier Zahlen wie 18, 36, 54, 72 usw (54 ist z.B. durch UK1-Zahl 3,
durch UK2-Zahl 9 und durch UK3-Zahl 27 teilbar).

Zur Übersichtlichkeit in der verwendeten Tabelle habe ich den definierten unterschiedlichen 6 Zahlenarten bestimmte Farben zugeordnet:
UK1-Zahl (PZ) = grün
UK2-Zahl = rot
UK3-Zahl = braun

GK1-Zahl = blau
GK2-Zahl = schwarz
GK3-Zahl = gelb.

Die folgende Tabelle, die in diesem Zahensystem verwendet wird, habe ich Primzahl-Eigenwert-Reihenfolge-Tabelle genannt (abgekürzt PERT).
Aus dieser Tabelle wird das Problem ersichtlich, für das ich keine Lösung finde konnte.

Beginnend mit der Primzahl 3 wird die Basis geschaffen, von der aus der Eigenwert der jeweiligen Primzahl hinzugefügt wird.

1) 3 5 7 11 13 17 19 23

2) 6 10 14 22 26 34 38 46 = GK2 (schwarz)

3) 9 15 21 33 39 51 57 59 = UK2 (rot)

4) 12 20 28 44 52 68 76 92 = GK2 (schwarz)

5) 15 25 35 55 65 85 95 115 = UK2 (rot)

6) 18 30 42 66 28 102 114 138 = GK3 (gelb)

7) 21 35 49 77 91 119 133 161 = UK2 (rot)

8) 24 40 56 88 104 136 152 184 = GK2 (schwarz)

9) 27 45 63 99 117 153 171 207 = UK2 (rot)

10) 30 50 70 110 130 170 190 230 = GK3 (gelb)

11) 33 55 77 121 143 187 209 253 = UK2 (rot)

12) 36 60 84 132 156 204 228 276 = GK3 (gelb)

13) 39 65 91 143 169 221 247 299 = UK2 (rot) usf.

Angesichts dessen, dass in der jeweiligen wagrechten Linie immer Zahlen der gleichen Kategorie auftreten, habe ich mich gefragt, warum dies der Fall ist.
Dabei bin ich zu dem Ergebnis gekommen, dass die Multiplikationen mit Zahlen der unterschiedlichen 6 Zahlenkategorien als Ergebnis stets eine Zahl liefern, die wieder einer ganz bestimmten Kategorie angehört.

Hier ein Beispiel:

Multiplikationverhalten der Primzahlen (UK1) mit den unterschiedlichen anderen Zahlenarten:

p UK1 x PZ/UK1 (z.B. 3 x 3) = 9 - Rotzahl/UK2
r UK2 x PZ/UK1 (z.B. 3 x 9) = 29 - Braunzahl/UK3
br UK3 x PZ/UK1 (z.B. 3 x 27) = 81 - Braunzahl/UK3
bl GK1 x PZ/UK1 (z.B. 3 x 4) = 12 - Schwarzzahl/GK2
s GK2 x PZ/UK1 (z.B. 3 x 10) = 30 - Gelbzahl/GK3
g GK3 x PZ/UK1 (z.B. 3 x 50) = 150 - Gelbzahl/GK3

Jeder kann mit diesem System selber feststellen, dass durch Multiplikation zweier gleicher oder verschiedenen Zahenarten, als Ergebnis immer wieder nur eine ganz bestimmte Zahlenart zustande kommt.
Hieraus kann die Schlussfolgerung gezogen werden, dass durch die Art der Zahlen die miteinander multipliziert werden, einen prägenden Charakter für das jeweilige Multiplikationsergebnis zustande kommt.

Insgesamt zeigt es sich, dass sich 18 Variationen von Multiplikationsmöglichkeiten ergeben. Die Zahlenarten die sich bei den unterschiedlichen Multiplikationsvariationen ergeben, gelten gleich einer Gesetzmäßigkeit für den ganzen Zahlenbereich (also auch wenn man sehr große Zahlen miteinander multipliziert).

Welche hilfreiche Art der Verbidnung von einer Primzahl zur nächsten auftretenden Primzahl besteht (siehe Tabelle PERT), sei kurz erläutert anhand der Primzahleneigenwert-Reihenfolge aus den Primzahlen 11 und 13.

Da 143 (GK2/Rotzahl) als Ergebnis der Multiplikation der Zahlen von 11x13, aber auch von 13x11 zustande kommt, findet sich die Zahl 143 in beiden Primzahl-Eigenwert-Reihenfogen. In der Reihenfolge der kleineren Primzahl (11) weißt sie auf die nächst folgende Primzahl hin, denn 143 geteilt durch 11 ergibt 13.

Aus obiger Tabelle ist auch ersichtlich, dass jede auftretende Rotzahl in der senkrechten Linie, geteilt mit der Primzahl die an ihrem Anfang steht, stets die nächstfolgende Primzahl ergibt.
Bei der Eigenwert-Reihenfolge der Primzahl 3 sind das die Zahlen 9 (weist durch Teilung auf die am Anfang stehende PZ 3 hin) 15 (: durch 3 =5), 21 (: durch 3 = 7), 33 (: durch 3 = 11), 39 (geteilt durch : durch 3 =13), 51, 57, 69, 87, 93 usf.
In jeder folgenden Primzahl-Eigenwert-Reihenfolge verschiebt sich die auf die nächste Primzahl hinweisende Rotzahl immer um eine Reihe nach vorne.
Die ersten Rotzahlen die auftreten, weisen in der Folge jeweils auf die zurückliegenden Primzahlen hin.

Die erste Gelbzahl in der PERT tritt mit dem Zalenwet 18 auf. Mit diesem Zahlenwert ist die Bedingung der Zahlenart, der sie gem. Definiton zuzuordnen ist, ertmals erfüllt (weil hier die gerad Zahl 18 erstmals durch eine Rotzahl, hier die 9, teilbar ist).

Ähnlich verhält es sich mit dem auftreten der ersten Braunzahl. Mit dem Zahlenwert 27 ist die Bedingung für die Zahlenart, der sie per Definiton zugeordnet wird, erstmals erfüllt (weil hier die ungerade Zahl 27 erstmals durch eine Rotzahl - hier auch die 9 - teilbar ist.

Zum Problem:

Ich habe versucht mit leichten Rechenoperationen eine Möglichkeit zu finden um eine UK2-Zahl (Rotzahl) von einer UK1-Zahl (Primzahl) zu unterscheiden, was mir aber trotz vieler Versuche nicht gelungen ist.
Ich denke, das die Kategorie der sog. UK2-Zahlen identisch ist mit den sog. Fastprimzahlen, von denen der Mathematiker Chen Jing-run nachweisen konnte, dass es unendlich viele davon gibt.

Meine Frage:
Ist jemand eine Möglichkeit bekannt, auf einfache Art und Weise herauszufinden, ob man es mit einer Fastprimzahl (UK2-Zahl/Rotzahl) oder einer Primzahl zu tun hat.

Warum es Primzahlen gibt:

In der fortlaufenden Zahlenfolge treten ungerade und gerade Zahlen in stets abwechseldner Fortsetzung auf.
Außer dieser allgemeine als selbstverständlich angesehenen Gesetzmäßigkeit, gibt es auch eine Gesetzmäßigkeit die mit der Multiplikation von Zahlen zu tun hat.

Hier hätten wir, was von Bedeutung ist, ein Ungleichgewicht im Zahlensystem dadurch, dass sowohl die Multiplikation von geraden Zahlen miteinander, als auch die Mutiplikation von ungeraden Zahen mit geraden Zahlen als Ergebnis stets gerade Zahlen ergibt.

Eine ungerade Zahl ergibt sich nur aus der Multiplikation von zwei ungeraden Zahlen.

Von den drei Möglichkeiten Zahlen miteinander zu multiplizieren, nämlich Gerade x Gerade, Ungerade x Gerade und Ungerade x Ungerade ergeben sich also zweimal als Ergebnis eine gerade Zahl, und nur einmal eine ungerade Zahl.
Das Ungleichgewicht, welches durch diese Situation vorprogrammiert wäre, wird durch das Aufreten der Primzahlen ausgeglichen.

Das sich dies so verhält, ist leicht für jeden nachvollziehbar.

Nehmen wir gleich die erste Zahl, mit der eine Multiplikation möglich ist, die Zahl 2.
Mit sich selbst multipliziert ergibt sich die gerade Zahl 4. Die nächste mögliche Multiplikation, 2 x 3, bringt als Ergebnis wiederum keine ungerade Zahl, sondern das Ergebnis ist die gerade Zahl 6.

Eine ungerade Zahl läßt sich erstmals mit der Multiplikation von 3 x 3 erzeugen, nämlich die ungerade Zahl 9.
In der natürlichen fortlaufenden Zahlenfolge sind bis hier aber schon drei weiter ungerade Zahlen aufgetreten, nämlich die Primzahlen 3, 5 und 7.

Die nächsten Multiplikationen die mit ungeraden Zahlen möglich sind: 3 x 5 und 3 x 7 hinterlassen immer Lücken, die durch Primzahlen aufgefüllt werden (zwischen 9-15 sind es die Primzahlen 11 und 13, zwischen 15-21 sind es die Primzahlen 17 und 19.

Da sich mit jeder weiteren Primzahl die in Erscheinung tritt, im Wege der Multiplikation mit einer anderen ungeraden Zahl immer mehr weitere ungerade Zahlen bilden, die keine Primzahlen sind, ist im größeren Zahlenbereich das Auftreten von Primzahlen immer seltener, da die ungeraden Zahlen immer mehr von den sich mehrenden Nicht-Primzahlen abgedeckt werden können.

Dem entsprechend nehmen die im o.g. Zahlensystem definierten UK3-Zahlen (Braunzahlen) im höheren Zahlbenberich beträchtlich zu.

Zahlen entwickeln sich offensichtlich auf zwei Ebenen. Auf der bekannten linearen Ebene, aber auch, wie oben gezeigt, quasi auf einer Multiplikationsebene.

Der Zahlenteppich auf der linearen Ebene erscheint uns unübersichtlich. Wohingegen auf der Multiplikationebene Symetrie erkennbar wird.

In der Hoffnung nicht zu sehr gelangweilt zu haben, warte ich auf die Reaktion derjenigen, die sich durchgebissen haben.
Aber bitte auf eine für einen Laien wie mich verständlichen Sprache.

Darüberhinaus soll das ganze einfach auch eine Anregung für Nicht-Mathematiker sein, die sich in diesem Forum umsehen.

Mit besten Grüßen

Micha




(Bisher wurde dieser Beitrag 1 mal editiert, als letztes von Micha am 27.07.2010 @ 19:35)
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